۱- دو مجموعه‌ی $A \cup B = \{a,b,c,d,e\}$ و $A \cap B = \{b,e\}$ را در نظر بگیرید. از دانش‌آموزان یک کلاس خواسته شده است که با توجه به این دو مجموعه، مجموعه‌های A و B را با نمودار ون نمایش دهند. پاسخ چهار دانش‌آموز این کلاس را در زیر می‌بینید:
الف) درباره‌ی درستی یا نادرستی پاسخ این دانش‌آموزان بحث کنید و برای درستی یا نادرستی آنها دلیل بیاورید.
پاسخ تشریحی:
برای ارزیابی پاسخ‌ها، ابتدا شرایط مسئله را تحلیل می‌کنیم:
۱. **اشتراک** دو مجموعه $A \cap B = \{b, e\}$ است. این یعنی در نمودار ون، ناحیه‌ی همپوشانی دو دایره باید **دقیقاً** شامل اعضای b و e باشد.
۲. **اجتماع** دو مجموعه $A \cup B = \{a, b, c, d, e\}$ است. این یعنی مجموع تمام اعضایی که در دو دایره وجود دارند باید این ۵ عضو باشد.
با توجه به اینکه b و e در اشتراک هستند، سه عضو دیگر یعنی a, c, d باید در قسمت‌های غی مشترک (یعنی فقط در A یا فقط در B) توزیع شوند. این توزیع می‌تواند به شکل‌های مختلفی صورت گیرد که همگی درست هستند. حال پاسخ‌ها را بررسی می‌کنیم:
* **پاسخ حمیده: (درست)**
* **دلیل:** اشتراک شامل $ \{b, e\} $ است (صحیح). اعضای دیگر $ \{a, c, d\} $ به درستی در نواحی دیگر توزیع شده‌اند. در این حالت:
* $A = \{a, d, b, e\}$
* $B = \{c, b, e\}$
* $A \cup B = \{a, b, c, d, e\}$ و $A \cap B = \{b, e\}$ که با صورت مسئله مطابقت دارد.
* **پاسخ ریحانه: (درست)**
* **دلیل:** اشتراک شامل $ \{b, e\} $ است (صحیح). در این حالت، تمام اعضای باقی‌مانده ($a, c, d$) در ناحیه‌ی مخصوص A قرار گرفته‌اند و ناحیه‌ی مخصوص B خالی است. در این حالت:
* $A = \{a, c, d, b, e\}$
* $B = \{b, e\}$
* $A \cup B = \{a, b, c, d, e\}$ و $A \cap B = \{b, e\}$ که با صورت مسئله مطابقت دارد. (در این حالت خاص $B \subseteq A$ است).
* **پاسخ زهرا: (درست)**
* **دلیل:** اشتراک شامل $ \{b, e\} $ است (صحیح). اعضای دیگر $ \{a, c, d\} $ به شکل دیگری در نواحی غیرمشترک توزیع شده‌اند. در این حالت:
* $A = \{a, b, e\}$
* $B = \{c, d, b, e\}$
* $A \cup B = \{a, b, c, d, e\}$ و $A \cap B = \{b, e\}$ که با صورت مسئله مطابقت دارد.
* **پاسخ حنانه: (درست)**
* **دلیل:** اشتراک شامل $ \{b, e\} $ است (صحیح). این پاسخ نیز یک توزیع ممکن دیگر برای اعضای $ \{a, c, d\} $ است. در این حالت:
* $A = \{c, b, e\}$
* $B = \{a, d, b, e\}$
* $A \cup B = \{a, b, c, d, e\}$ و $A \cap B = \{b, e\}$ که با صورت مسئله مطابقت دارد.
**نتیجه‌گیری:** پاسخ **همه‌ی چهار دانش‌آموز درست است**. زیرا مسئله برای توزیع اعضایی که در اشتراک نیستند، چندین جواب ممکن دارد.
۲- با توجه به اولین فعالیت این درس و ورزشکاران دو تیم والیبال و فوتبال مجموعه‌ای تشکیل دهید که هر عضو آن عضو تیم والیبال باشد، ولی عضو تیم فوتبال نباشد (فقط در تیم والیبال بازی کند). این مجموعه را «V منهای F» می‌نامیم و با نماد $V-F$ نمایش می‌دهیم:
$V-F = \{\dots\}$
$F-V = \{\dots\}$
پاسخ تشریحی:
این سوال به مفهوم **تفاضل دو مجموعه** اشاره دارد. تفاضل مجموعه‌ی A از B، که با $B-A$ نمایش داده می‌شود، شامل تمام اعضایی است که در B هستند، اما در A نیستند.
با توجه به فعالیت صفحه‌ی قبل (صفحه ۱۱ کتاب)، اعضای تیم‌های والیبال (V) و فوتبال (F) به شرح زیر بودند:
* اعضای مشترک هر دو تیم ($V \cap F$): $ \{\text{علی, رضا}\} $
* اعضای تیم فقط والیبال: $ \{\text{سامان, احسان, فرشید, حسین}\} $
* اعضای تیم فقط فوتبال: $ \{\text{محمّد, حسن, کیوان, سبحان}\} $
بنابراین مجموعه‌های کامل عبارت بودند از:
$V = \{\text{سامان, احسان, فرشید, حسین, علی, رضا}\}$
$F = \{\text{محمّد, حسن, کیوان, سبحان, علی, رضا}\}$
حالا تفاضل‌ها را محاسبه می‌کنیم:
* **$V-F$ (اعضای V که در F نیستند):**
این مجموعه شامل دانش‌آموزانی است که **فقط** در تیم والیبال بازی می‌کنند.
$V-F = \{\text{سامان, احسان, فرشید, حسین}\}$
* **$F-V$ (اعضای F که در V نیستند):**
این مجموعه شامل دانش‌آموزانی است که **فقط** در تیم فوتبال بازی می‌کنند.
$F-V = \{\text{محمّد, حسن, کیوان, سبحان}\}$
